Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание № 1712
i

Сфера про­хо­дит через все вер­ши­ны ниж­не­го ос­но­ва­ния пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной приз­мы и ка­са­ет­ся ее верх­не­го ос­но­ва­ния. Най­ди­те пло­щадь сферы, если пло­щадь диа­го­наль­но­го се­че­ния приз­мы равна дробь: чис­ли­тель: 6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: Пи конец дроби , а вы­со­та приз­мы в два раза мень­ше ра­ди­у­са сферы.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Изоб­ра­зим на ри­сун­ке плос­кость диа­го­наль­но­го се­че­ния приз­мы. Вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке: ра­ди­ус сферы пе­ре­се­ка­ет диа­го­наль ниж­не­го ос­но­ва­ния AD в точке H, ка­са­ет­ся диа­го­на­ли BC в точке К.

Рис. 1

Рис. 2

Че­ты­рех­уголь­ник ABCD  — пря­мо­уголь­ник, от­ре­зок OK пер­пен­ди­ку­ля­рен сто­ро­нам AD и BC. По усло­вию HK = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби r. Най­дем сто­ро­ны пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка AHO: AO = r, OH = HK = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби r, от­сю­да AH = дробь: чис­ли­тель: r ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . Пло­щадь диа­го­наль­но­го се­че­ния

S_ABCD = AD умно­жить на AB = 2AH умно­жить на AB = r ко­рень из 3 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: r, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = r в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

По усло­вию пло­щадь диа­го­наль­но­го се­че­ния равна дробь: чис­ли­тель: 6 ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: Пи конец дроби , от­ку­да r в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: 12, зна­ме­на­тель: Пи конец дроби . Таком об­ра­зом,

S = 4 Пи r в квад­ра­те = 4 Пи умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 12, зна­ме­на­тель: конец дроби pi = 48.

Ответ: 48.


Аналоги к заданию № 1680: 1712 Все

Источник: Цен­тра­ли­зо­ван­ное те­сти­ро­ва­ние по ма­те­ма­ти­ке, 2020
Сложность: IV
Спрятать решение · Прототип задания · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025